Câu hỏi Vận dụng 1 trang 31 Toán 12 Kết nối tri thức: Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz

Câu hỏi/Đề bài:

Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực \(\overrightarrow F \) để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\).

a) Cho \(\overrightarrow {OP} = \left( {x;y;z} \right),\overrightarrow F = \left( {a;b;c} \right)\), Tính \(\overrightarrow M \).

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP’} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a’;b’;c’} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc’ – b’c;ca’ – c’a;ab’ – a’b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

Lời giải:

a) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {cy – bz;za – cx;xb – ay} \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow M = \left( {cy – bz;za – cx;xb – ay} \right)\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {OP’} = \left( {2x;2y;2z} \right)\). Khi đó, moment lực là: \(\overrightarrow {M’} = \left[ {\overrightarrow {OP’} ,\overrightarrow F } \right]\)

Do đó, \(\left[ {\overrightarrow {OP’} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {2cy – 2bz;2za – 2cx;2xb – 2ay} \right)\)

Suy ra: \(\overrightarrow {M’} = \left( {2cy – 2bz;2za – 2cx;2xb – 2ay} \right) = 2\overrightarrow M \)

Vậy khi giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP’} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.

Từ đó, ta rút ra kết luận là nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P cách con ốc ở vị trí O càng lớn thì càng đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc.