Lời giải Câu hỏi Luyện tập 9 trang 36 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 14. Phương trình mặt phẳng. Tham khảo: Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz.
Câu hỏi/Đề bài:
Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không?
\(\left( \alpha \right):3x + y – z + 1 = 0,\left( \beta \right):9x + 3y – 3z + 3 = 0\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0\) với hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n’} \Leftrightarrow AA’ + BB’ + CC’ = 0\).
Lời giải:
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {3;1; – 1} \right)\), mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {9;3; – 3} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.9 + 1.3 + 3.1 = 33 \ne 0\) nên hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) không vuông góc với nhau.