Lời giải Câu hỏi Luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\.
Câu hỏi/Đề bài:
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; – 2;1} \right)\) và \(C\left( { – 2;5;7} \right)\).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính \(\widehat {BAC}\).
Hướng dẫn:
a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} – {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} – {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} – {z_A}} \right)}^2}} \)
b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx’ + yy’ + zz’}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{‘^2} + y{‘^2} + z{‘^2}} }}\)
Lời giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3; – 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { – 4} \right)}^2}} = 5;\)
\(\overrightarrow {AC} \left( { – 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}} = 7\)
Vậy chu vi tam giác ABC là:
b) Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { – 2} \right) + \left( { – 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ – 18}}{{35}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \approx 120,{9^0}\)
Nên \(\widehat {BAC} = {180^0} – 120,{9^0} = 59,{1^0}\).