Đáp án Câu hỏi Luyện tập 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 16. Công thức tính góc trong không gian. Gợi ý: Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz.
Câu hỏi/Đề bài:
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):x – \sqrt 2 y + z – 2 = 0\) và \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA’ + BB’ + CC’} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2}} }}\).
Lời giải:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; – \sqrt 2 ;1} \right)\), mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {0;1;0} \right)\). Ta có: \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 – \sqrt 2 .1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { – \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = {45^0}\).