Giải chi tiết Câu hỏi Luyện tập 3 trang 32 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Gợi ý: Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị.
Câu hỏi/Đề bài:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ – {x^2} + 3x – 1}}{{x – 2}}\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Lời giải:
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y = \frac{{ – {x^2} + 3x – 1}}{{x – 2}} = – x + 1 + \frac{1}{{x – 2}}\)
\(y’ = – 1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} < 0\forall x \ne 2\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – {x^2} + 3x – 1}}{{x – 2}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – {x^2} + 3x – 1}}{{x – 2}} = + \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{ – {x^2} + 3x – 1}}{{x – 2}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ – {x^2} + 3x – 1}}{{x – 2}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – \left( { – x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { – x + 1 + \frac{1}{{x – 2}} + x – 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x – 2}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {y – \left( { – x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( { – x + 1 + \frac{1}{{x – 2}} + x – 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{{x – 2}} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 2\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = – x + 1\) làm tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – {x^2} + 3x – 1}}{{x – 2}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}\)
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm\(\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};0} \right);\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2};0} \right)\).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {2; – 1} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.