Trả lời Câu hỏi Luyện tập 1 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 11. Nguyên hàm. Gợi ý: Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x).
Câu hỏi/Đề bài:
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
a) \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x\);
b) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \ln x\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Lời giải:
a) Ta có: \(F’\left( x \right) = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)’ = x + \frac{1}{x}\)
Vì \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) \(G’\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \ln x} \right)’ = x – \frac{1}{x}\)
G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) vì với \(x = 1\) ta có:
\(G’\left( 1 \right) = 0 \ne 2 = f\left( 1 \right)\).