Lời giải Câu hỏi Hoạt động 5 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 14. Phương trình mặt phẳng. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về phương trình tổng quát của mặt phẳng để giải: Trong không gian Oxyz.
Câu hỏi/Đề bài:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\).
Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của \(\left( \alpha \right)\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về phương trình tổng quát của mặt phẳng để giải: Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Lời giải:
Gọi điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\). Khi đó, hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.
Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M} \left( {x – {x_0};y – {y_0};z – {z_0}} \right)\)
Suy ra phương trình của \(\left( \alpha \right)\) là: \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow Ax + By + Cz – A{x_0} – B{y_0} – C{z_0} = 0\)
Vậy phương trình của \(\left( \alpha \right)\) là: \(Ax + By + Cz – A{x_0} – B{y_0} – C{z_0} = 0\)