Hướng dẫn giải Câu hỏi Hoạt động 3 trang 95 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Độ dài gang tay (Gang tay của bạn dài bao nhiêu?). Gợi ý: Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính.
Câu hỏi/Đề bài:
Sử dụng bảng tần số thu được ở HĐ2, em hãy:
a) Tính độ gang tay trung bình của các học sinh nữ, học sinh nam trong lớp và so sánh.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn và từ đó tính hệ số biến thiên độ dài gang tay của hai nhóm học sinh này và so sánh.
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({s^2}\), là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + … + {m_k}x_k^2} \right) – {\left( {\overline x } \right)^2}\), trong đó với là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc \(n = {m_1} + … + {m_k}\)hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Sử dụng kiến thức về hệ số biến thiên để tính hệ số biến thiên độ dài gang tay: Hệ số biến thiên tính theo công thức: \(cv = \frac{s}{{\overline x }}\), trong đó: s là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, \(\overline x \) là giá trị trung bình của mẫu số liệu
Lời giải:
a) Bảng số liệu với giá trị đại diện
Chiều dài gang tay trung bình của học sinh nam trong lớp là:
\(\overline {{x_1}} = \frac{{18,5.1 + 19,5.6 + 20,5.8 + 21,5.7 + 22,5.2 + 23,5.1}}{{1 + 6 + 8 + 7 + 2 + 1}} = 20,74\left( {cm} \right)\)
Chiều dài gang tay trung bình của học sinh nữ trong lớp là:
\(\overline {{x_2}} = \frac{{16,5.3 + 17,5.2 + 18,5.8 + 19,5.4 + 20,5.2 + 21,5.1}}{{3 + 2 + 8 + 4 + 2 + 1}} = 18,65\left( {cm} \right)\)
b) Chiều dài gang tay của học sinh nam:
Phương sai:
\(s_1^2 = \frac{1}{{25}}\left( {1.18,{5^2} + 6.19,{5^2} + 8.20,{5^2} + 7.21,{5^2} + 2.22,{5^2} + 1.23,{5^2}} \right) – 20,{74^2} = 1,3024\)
Độ lệch chuẩn: \({s_1} = \sqrt {1,3024} = \frac{{\sqrt {814} }}{{25}}\)
Hệ số biến thiên: \(c{v_1} = \frac{{{s_1}}}{{\overline {{x_1}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {814} }}{{25}}}}{{20,74}} \approx 0,055\)
Chiều dài gang tay của học sinh nữ:
Phương sai:
\(s_2^2 = \frac{1}{{20}}\left( {16,{5^2}.3 + 17,{5^2}.2 + 18,{5^2}.8 + 19,{5^2}.4 + 20,{5^2}.2 + 21,{5^2}.1} \right) – 18,{65^2} = 1,7275\)
Độ lệch chuẩn: \({s_2} = \sqrt {1,7275} = \frac{{\sqrt {691} }}{{20}}\)
Hệ số biến thiên: \(c{v_2} = \frac{{{s_2}}}{{\overline {{x_2}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {691} }}{{20}}}}{{18,65}} \approx 0,07\)
Vì \(c{v_1} < c{v_2}\) nên chiều dài gang tay học sinh nữ phân tán nhiều hơn chiều dài gang tay học sinh nam trong lớp.