Giải Câu hỏi Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 11. Nguyên hàm. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.
a) Chứng minh rằng kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {kf\left( x \right)dx} \) và \(k\int {f\left( x \right)dx} \)
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải:
a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(kF’\left( x \right) = kf\left( x \right)\) (với k khác 0). Do đó, kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Ta có: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)