Trả lời Câu hỏi Hoạt động 2 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 16. Công thức tính góc trong không gian. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức giá của vectơ để chứng minh.
Câu hỏi/Đề bài:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Xét \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) và \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) (với giá \(\Delta ‘\)) là một vectơ pháp tuyến của (P). (H.5.35)
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) và \(\left( {\Delta ,\Delta ‘} \right)\).
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa \(\sin \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right)\) và \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\)?
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức giá của vectơ để chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Lời giải:
a) Mối quan hệ của góc \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) và \(\left( {\Delta ,\Delta ‘} \right)\) là: \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} – \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right)\)
b) Ta có: +) \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} – \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = {90^0} – \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)\) với \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right) \le {90^o}\)
+) \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} – \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = {90^0} – \left[ {{{180}^o} – \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right] = – {90^o} + \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)\) với \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right) > {90^o}\)
Suy ra, \(\sin \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\).