Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \. Trả lời Giải bài tập 5.51 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 5. Bản thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz….
Đề bài/câu hỏi:
Bản thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng Oxy, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm \(A\left( {1;2; – 1} \right)\) và \(B\left( {5;6; – 2} \right)\). Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Khi đó:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải:
Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\).
Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {4;4; – 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Ta có: \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.4 + 0.4 – 1.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {33} }} \Rightarrow \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx {10^0}\)
Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn xấp xỉ \({10^0}\).