Bài tập 5.43 trang 62 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1;0;2 và hai đường thẳng d: x/1 = y – 1/2 = z/2, d’

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) và hai đường thẳng d: \(\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{2}\), \(d’:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}\).

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Hướng dẫn:

a) Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:

\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)

\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\)

\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\)

\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\)

b) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).

c) Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

d) + Viết phương trình mặt phẳng (Oxz).

+ Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

+ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxz) theo t.

+ Thay tọa độ tính theo t vào phương trình mặt phẳng (Oxz) tìm t.

+ Tìm lại tọa độ giao điểm.

Lời giải:

a) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( {0;1;0} \right).\)

Đường thẳng d’ nhận \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;2; – 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(B\left( { – 1; – {\rm{2}};3} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {CB} \left( { – 1; – 3;3} \right),\) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\2&{ – 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ – 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { – 6;5; – 2} \right) \ne \overrightarrow 0 \)

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {CB} = \left( { – 6} \right).\left( { – 1} \right) + 5.\left( { – 3} \right) + \left( { – 2} \right).3 = 6 – 15 – 6 = – 15 \ne 0\) nên d, d’ chéo nhau.

b) Đường đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\)

c) Vì \(\frac{1}{1} \ne \frac{{0 – 1}}{2}\) nên điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) không thuộc đường thẳng d. \(C\left( {0;1;0} \right).\)\(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} \left( { – 1;1; – 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 2}\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&{ – 1}\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&1\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;0; – 3} \right)\)

Mặt phẳng (P) đi qua \(A\left( {1;0;2} \right)\) và nhận \(\frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {2;0; – 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là: \(2\left( {x – 1} \right) – \left( {z – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – z = 0\)

d) Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: \(y = 0\)

Phương trình tham số của đường thẳng (d) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + 2t\\z = 2t\end{array} \right.\). Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là \(\left( {t;1 + 2t;2t} \right)\).

Thay \(x = t,y = 1 + 2t,z = 2t\) vào phương trình mặt phẳng (Oxz) ta có: \(1 + 2t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ – 1}}{2}\)

Do đó, giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là: \(\left( {\frac{{ – 1}}{2};0; – 1} \right)\).