Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz. Hướng dẫn giải Giải bài tập 5.41 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 5. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = – 2 + t\\z =…
Đề bài/câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = – 2 + t\\z = 4 – 2t\end{array} \right.\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải:
Nhận thấy điểm O không thuộc đường thẳng d.
Đường thẳng d đi qua điểm \(A\left( {1; – 2;4} \right)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {1; – 2;4} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&4\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 2}\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { – 8;2;3} \right)\)
Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { – 8;2;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là: \( – 8x + 2y + 3z = 0\)