Bài tập 5.21 trang 53 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng P : x + 2y – z – 1 = 0

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y – z – 1 = 0\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Khi đó: \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải:

Trục Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2; – 1} \right)\). Ta có: \(\sin \left( {Oz,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 + 0.2 + 1.\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P) khoảng \(24,{1^o}\).