Bài tập 25 trang 93 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho điểm I – 1;2;1 và mặt phẳng P : 2x – 2y – z – 5 = 0

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( { – 1;2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – 2y – z – 5 = 0\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình \(\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \).

Lời giải:

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n \left( {2; – 2; – 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận \(\overrightarrow n \left( {2; – 2; – 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương. Mà d đi qua điểm \(I\left( { – 1;2;1} \right)\) nên phương trình tham số đường thẳng d là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 2 – 2t\\z = 1 – t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc của đường thẳng d là: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}\)