Bài tập 17 trang 92 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = x + 1/√x^2 + 1

Đề bài/câu hỏi:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\);

b) \(y = x + \sqrt {1 – {x^2}} \)

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f’\left( x \right) = 0\).

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f’\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.

2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);…;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)

Lời giải:

a) Ta có: \(y’ = {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)’} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} – \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 – {x^2} – x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}\)

\(y’ = 0 \Rightarrow x = 1 \in \left[ { – 1;2} \right]\)

Ta có: \(y\left( { – 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = \frac{2}{{\sqrt 2 }}=\sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = y\left( { – 1} \right) = 0\)

b) Tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { – 1;1} \right]\)

\(y’ = 1 + \frac{{ – x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }},y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {1 – {x^2}} – x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 – {x^2} = {x^2}\\ – 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(y\left( {\frac{{ – \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0;y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,y\left( { – 1} \right) = – 1;y\left( 1 \right) = 1\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = y\left( { – 1} \right) = – 1\)