Giải Câu hỏi Thực hành 6 trang 11 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo – Bài 1. Nguyên hàm. Hướng dẫn: Sử dụng tính chất nguyên hàm của tổng.
Câu hỏi/Đề bài:
Tìm:
a) \(\int {\left( {3{x^3} + \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \right)dx} \) \(\left( {x > 0} \right)\)
b) \(\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)
Hướng dẫn:
Sử dụng tính chất nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số và nguyên hàm của tích một số với một hàm số để đưa về tính nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp.
Lời giải:
a) Với \(x > 0\), ta có:
\(\int {\left( {3{x^3} + \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \right)dx} = 3\int {{x^3}dx} + 2\int {\frac{1}{{{x^{\frac{3}{5}}}}}dx = 3\int {{x^3}dx} + 2\int {{x^{\frac{{ – 3}}{5}}}} dx = \frac{{3{x^4}}}{4} + \frac{{2{x^{\frac{2}{5}}}}}{{\frac{2}{5}}} + C} \)
\( = \frac{{3{x^4}}}{4} + 5\sqrt[5]{{{x^2}}} + C\)
b) \(\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = 3\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx – \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = 3\tan x – \left( { – \cot x} \right) + C} \)
\( = 3\tan x + \cot x + C\)