Lời giải Câu hỏi Thực hành 1 trang 28 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo – Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản. Tham khảo: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Câu hỏi/Đề bài:
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = – 2{x^3} – 3{x^2} + 1\)
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)
Hướng dẫn:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm), …
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải:
a) \(y = – 2{x^3} – 3{x^2} + 1\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
- Chiều biến thiên:
\(y’ = – 6{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 0\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( – \infty \); -1), (0; \( + \infty \)) thì y’ 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và \({y_{cd}} = 1\)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{ct}} = 0\)
- Các giới hạn tại vô cực:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} – 3{x^2} + 1) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( – 2{x^3} – 3{x^2} + 1) = – \infty \)
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow – 2{x^3} – 3{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (-1; 0) và (\(\frac{1}{2}\); 0)
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
- Chiều biến thiên:
\(y’ = 3{x^2} + 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)
\(y’ \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\)nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị
- Các giới hạn tại vô cực:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) = – \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) = + \infty \)
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)
