Lời giải Câu hỏi Thực hành 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo – Bài 2. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tham khảo: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.
Câu hỏi/Đề bài:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f(x) = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
b) \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
c) \(h(x) = x\sqrt {2 – {x^2}} \)
Hướng dẫn:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.
– Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \le \) M với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_D \)f(x). Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_D \)f(x).
– Tìm đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên và xác định GTLN và GTNN
Lời giải:
a) Xét \(f(x) = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
\(f'(x) = 6{x^2} – 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0;3]} f(x) = f(0) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0;3]} f(x) = f(3) = 10\)
b) Xét \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
\(g'(x) = 1 – \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{(0;5)} f(x) = f(1) = 2\) và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)
c) Xét \(h(x) = x\sqrt {2 – {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = [ – \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)
\(h'(x) = \sqrt {2 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2 – {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = ( – \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\)
\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D f(x) = f( – 1) = – 1\) và \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(1) = 1\)