Giải Câu hỏi Khám phá 2 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo – Bài 1. Nguyên hàm. Gợi ý: Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
Câu hỏi/Đề bài:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) có là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) không?
c) Giả sử \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) – F\left( x \right)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G\left( x \right) – F\left( x \right)\)?
Hướng dẫn:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta cần chỉ ra rằng \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\).
b) Để kiểm tra hàm số \(H\left( x \right)\) có là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) hay không, ta cần tính đạo hàm \(H’\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).
c) Tính đạo hàm \(\left[ {G\left( x \right) – F\left( x \right)} \right]’\) và rút ra kết luận.
Lời giải:
a) Ta có \(F’\left( x \right) = 3{x^2} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có \(H’\left( x \right) = \left[ {F\left( x \right) + C} \right]’ = F’\left( x \right) + C’ = f\left( x \right)\) (do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)), nên \(H\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
c) Do \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta có \(G’\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Ta có \(\left[ {G\left( x \right) – F\left( x \right)} \right]’ = G’\left( x \right) – F’\left( x \right) = f\left( x \right) – f\left( x \right) = 0\).
Vậy đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) – F\left( x \right)\) bằng 0, tức là \(G\left( x \right) – F\left( x \right)\) là một hằng số (do đạo hàm của một hằng số thì bằng 0).