Câu hỏi Hoạt động 2 trang 63 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Trong không gian Oxyz, cho điểm M x;y;z thay đổi có toạ độ luôn thoả mãn phương trình x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 4y – 6z

Câu hỏi/Đề bài:

a) Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thay đổi có toạ độ luôn thoả mãn phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 11 = 0\). (*)

i) Biến đổi (*) về dạng \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\).

ii) Chứng tỏ \(M\left( {x;y;z} \right)\) luôn thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\). Tìm tâm và bán kính của \(\left( S \right)\)

b) Bằng cách biến đổi phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z + 15 = 0\) (**) về dạng \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = – 1\), hãy cho biết phương trình (**) có thể là phương trình mặt cầu hay không.

Hướng dẫn:

a) Sử dụng các hằng đẳng thức để đưa phương trình (*) về dạng như đề bài yêu cầu, từ đó suy ra điểm \(M\) luôn thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).

b) Sử dụng hằng đẳng thức để đưa phương trình (**) về dạng như đề bài yêu cầu, rồi kết luận.

Lời giải:

a)

i) Ta có

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 11 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} – 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} – 6z + 9} \right) – 25 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\end{array}.\)

ii) Do điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) có toạ độ thoả mãn phương trình (*), suy ra điểm \(M\) thoả mãn phương trình \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\). Vậy điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {25} = 5\).

b) Ta có

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z + 15 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} – 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} – 6z + 9} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = – 1\end{array}.\)

Do \( – 1 < 0\), nên phương trình trên không là phương trình mặt cầu. Suy ra (**) không là phương trình mặt cầu.