Khai triển biểu thức \(x{\left( {2x – 3} \right)^2}\), sau đó đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. Gợi ý giải Giải bài tập 5 trang 12 SGK Toán 12 tập 2 – Chân trời sáng tạo – Bài 1. Nguyên hàm. Tìm a) \(\int {x{{\left( {2x – 3} \right)}^2}dx} \) b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \) c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm
a) \(\int {x{{\left( {2x – 3} \right)}^2}dx} \)
b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \)
c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \)
d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx\)
Hướng dẫn:
a) Khai triển biểu thức \(x{\left( {2x – 3} \right)^2}\), sau đó đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.
b) Sử dụng công thức hạ bậc \({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 – \cos 2\alpha }}{2}\), sau đó đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.
c) Sử dụng công thức \({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1\), sau đó đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.
d) Biến đổi \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx\) về dạng \(\int {{a^x}dx} \), rồi dùng công thức nguyên hàm của hàm số mũ.
Lời giải:
a) \(\int {x{{\left( {2x – 3} \right)}^2}dx} = \int {x\left( {4{x^2} – 12x + 9} \right)dx} = \int {\left( {4{x^3} – 12{x^2} + 9x} \right)dx} \)
\( = 4\int {{x^3}dx} – 12\int {{x^2}dx} + 9\int {xdx} = 4.\frac{{{x^4}}}{4} – 12.\frac{{{x^3}}}{3} + 9.\frac{{{x^2}}}{2} + C = {x^4} – 4{x^3} + \frac{9}{2}{x^2} + C\)
b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 – \cos x}}{2}dx = \frac{1}{2}\int {dx} – \frac{1}{2}\int {\cos xdx} = \frac{1}{2}x – \frac{1}{2}\sin x + C} \)
c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)dx = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} – \int {dx} = \tan x – x + C} \)
d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx = \int {{{\left( {{2^3}} \right)}^x}{{.3}^x}dx} = \int {{8^x}{{.3}^x}dx} = \int {{{24}^x}dx} = \frac{{{{24}^x}}}{{\ln 24}} + C\)