Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số − Tìm đạo hàm y’. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài tập 3 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo – Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\…
Đề bài/câu hỏi:
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\)
b) \(y = \frac{{x – 3}}{{1 – x}}\)
Hướng dẫn:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải:
a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
- Chiều biến thiên:
\(y’ = – \frac{1}{{{x^2}}} < 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D
- Tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 + \frac{1}{x}) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (3 + \frac{1}{x}) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (3 + \frac{1}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} (3 + \frac{1}{x}) = – \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow 3 + \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{1}{3}\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\( – \frac{1}{3}\); 0)
b) \(y = \frac{{x – 3}}{{1 – x}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
- Chiều biến thiên:
\(y’ = \frac{{ – 2}}{{{{(1 – x)}^2}}} < 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D
- Tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x – 3}}{{1 – x}} = – 1\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x – 3}}{{1 – x}} = – 1\) nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 3}}{{1 – x}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x – 3}}{{1 – x}} = – \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao của đồ thị hàm số với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x – 3}}{{1 – x}} = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (3; 0)
