Bài tập 2 trang 18 Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = x^3 – 12x + 1 trên đoạn [-1

Đề bài/câu hỏi:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:a) \(y = {x^3} – 12x + 1\) trên đoạn [-1;3] b) \(y = – {x^3} + 24{x^2} – 180x + 400\) trên đoạn [3;11]c) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}\) trên đoạn [3;7] d) \(y = \sin 2x\) trên đoạn \([0;\frac{{7\pi }}{{12}}]\)

Hướng dẫn:

Tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải:

a) Xét \(y = {x^3} – 12x + 1\) trên đoạn [-1;3]

\(y’ = 3{x^2} – 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = – 2(loai)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{[ – 1;3]} y = y( – 1) = 12\) và \(\mathop {\min }\limits_{[ – 1;3]} y = y(2) = – 15\)

b) Xét \(y = – {x^3} + 24{x^2} – 180x + 400\) trên đoạn [3;11]

\(y’ = – 3{x^2} + 48x – 180 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = 6\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{[3;11]} y = y(3) = 49\) và \(\mathop {\min }\limits_{[3;11]} y = y(6) = – 32\)

c) Xét \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}\) trên đoạn [3;7]

\(y’ = \frac{{ – 5}}{{{{(x – 2)}^2}}} < 0\forall x \in [3;7]\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{[3;7]} y = y(3) = 7\) và \(\mathop {\min }\limits_{[3;7]} y = y(7) = 3\)

d) Xét \(y = \sin 2x\) trên đoạn \([0;\frac{{7\pi }}{{12}}]\)

\(y’ = 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}(k \in \mathbb{Z})\)

Ta có: \(x \in [0;\frac{{7\pi }}{{12}}] \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{[0;\frac{{7\pi }}{{12}}]} y = y(\frac{\pi }{4}) = 1\) và \(\mathop {\min }\limits_{[0;\frac{{7\pi }}{{12}}]} y = y(\frac{{7\pi }}{{12}}) = – \frac{1}{2}\)