Tính độ dài \(MA\), \(MB\) và \(MC\) theo \(x\), \(y\), \(z\), sau đó thay vào đẳng thức \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\. Hướng dẫn giải Giải bài tập 18 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 – Chân trời sáng tạo – . Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;3} \right)\). Chứng minh rằng nếu điểm \(M\left( {x,y,…
Đề bài/câu hỏi:
Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;3} \right)\). Chứng minh rằng nếu điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) thoả mãn \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) thì \(M\) thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\). Tìm tâm và bán kính của \(\left( S \right)\).
Hướng dẫn:
Tính độ dài \(MA\), \(MB\) và \(MC\) theo \(x\), \(y\), \(z\), sau đó thay vào đẳng thức \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) và rút ra kết luận.
Lời giải:
Ta có
\(M{A^2} = {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\), \(M{B^2} = {x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2}\), \(M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2}\)
Do \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\), nên
\({\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2}\)
\( \Rightarrow – 2x + 1 = {x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2}\)
\( \Rightarrow {x^2} + 2x – 1 + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 0\)
\( \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 2\).
Vậy điểm \(M\) thuộc mặt cầu có tâm \(I\left( { – 1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 .\)