Do \(H\) là hình chiếu của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên \(OH \bot \left( Q \right)\), suy ra \(\overrightarrow {OH} \. Lời giải bài tập, câu hỏi Giải bài tập 15 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 – Chân trời sáng tạo – . Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x – y – 6 = 0\) và \(\left( Q \right)\)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x – y – 6 = 0\) và \(\left( Q \right)\). Biết rằng điểm \(H\left( {2; – 1; – 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Hướng dẫn:
Do \(H\) là hình chiếu của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên \(OH \bot \left( Q \right)\), suy ra \(\overrightarrow {OH} \) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\). Xác định vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\) và sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\vec n} \right)} \right|\).
Lời giải:
Do \(H\left( {2; – 1; – 2} \right)\) là hình chiếu của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên \(OH \bot \left( Q \right)\), suy ra \(\overrightarrow {OH} = \left( {2; – 1; – 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Ta có \(\vec n = \left( {1; – 1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
Suy ra \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { – 1} \right).\left( { – 1} \right) + \left( { – 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {45^o}\).