Bài tập 14 trang 65 Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Cho hai điểm A(1; 2; -1), B(0; -2; 3). a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc toạ độ

Đề bài/câu hỏi:

Cho hai điểm A(1; 2; -1), B(0; -2; 3).

a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc toạ độ.

b) Tính diện tích tam giác OAB.

Hướng dẫn:

a) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\). Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)

b) \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}AH.OB = \frac{1}{2}|\overrightarrow {AH} |.|\overrightarrow {OB} |\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {OB} = (0; – 2;3)\)

Gọi H(x;y;z) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác OAB

=> \(\overrightarrow {OH} = (x;y;z)\)

\(\overrightarrow {OH} \) cùng phương với \(\overrightarrow {OB} \) nên \(x = 0;y = – 2t;z = 3t\) => \(H(0; – 2t;3t)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AH} = ( – 1; – 2t – 2;3t + 1)\)

\(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow – 1.0 – 2.( – 2t – 2) + 3.(3t + 1) = 0 \Leftrightarrow t = – \frac{7}{{13}}\)

Vậy \(H(0;\frac{{14}}{{13}};\frac{{ – 21}}{{13}})\)

b) \(\overrightarrow {AH} = ( – 1; – \frac{{12}}{{13}}; – \frac{8}{{13}}) \Rightarrow AH = \sqrt {{{( – 1)}^2} + {{( – \frac{{12}}{{13}})}^2} + {{( – \frac{8}{{13}})}^2}} = \frac{{\sqrt {377} }}{{13}}\)

\(\overrightarrow {OB} = (0; – 2;3) \Rightarrow OB = \sqrt {{{( – 2)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \)

Diện tích tam giác OAB: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}AH.OB = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {377} }}{{13}}.\sqrt {13} = \frac{{\sqrt {29} }}{2}\)