Tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) và kết luận. Hướng dẫn cách giải/trả lời Giải bài tập 14 trang 29 SGK Toán 12 tập 2 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối chương 4. Tính đạo hàm của (Fleft( x right) = ln left( {x + sqrt {{x^2} + 1} } right))….
Đề bài/câu hỏi:
Tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\). Từ đó suy ra nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Hướng dẫn:
Tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) và kết luận.
Lời giải:
Ta có \(F’\left( x \right) = \left[ {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]’ = \frac{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)’}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)’}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\( = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = f\left( x \right)\)
Như vậy \(F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Do đó \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C \Rightarrow \int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + C\)