Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo Bài tập 13 trang 38 Toán 12 tập 1 – Chân trời...

Bài tập 13 trang 38 Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Cho hàm số y = x^2 + 4x – 1/x – 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số − Tìm đạo hàm y’. Trả lời Giải bài tập 13 trang 38 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối chương 1. Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}}\…

Đề bài/câu hỏi:

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}}\)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Hướng dẫn:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) Lập bảng biến thiên và quan sát

Lời giải:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)

  • Chiều biến thiên:

\(y’ = \frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{{{(x – 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( – \infty \); -1), (3; \( + \infty \)) thì y’ 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

  • Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} = – \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{{x^2} – x}} = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} – x) = 5\) nên y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} = – \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2 – \sqrt 5 \\x = – 2 + \sqrt 5 \end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\( – 2 – \sqrt 5 \); 0) và (\( – 2 + \sqrt 5 \); 0)

b) Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[2;4]} y = y(3) = 10\) và \(\mathop {\max }\limits_{[2;4]} y = y(2) = 11\)