Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số − Tìm đạo hàm y’. Trả lời Giải bài tập 13 trang 38 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối chương 1. Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}}\…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}}\)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].
Hướng dẫn:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
b) Lập bảng biến thiên và quan sát
Lời giải:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
- Chiều biến thiên:
\(y’ = \frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{{{(x – 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( – \infty \); -1), (3; \( + \infty \)) thì y’ 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
- Giới hạn và tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} = – \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{{x^2} – x}} = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} – x) = 5\) nên y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} = – \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên:
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x – 1}}{{x – 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2 – \sqrt 5 \\x = – 2 + \sqrt 5 \end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\( – 2 – \sqrt 5 \); 0) và (\( – 2 + \sqrt 5 \); 0)
b) Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[2;4]} y = y(3) = 10\) và \(\mathop {\max }\limits_{[2;4]} y = y(2) = 11\)