Bài tập 11 trang 38 Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Cho hàm số y = 1/3/x^3 – x^2 + 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đề bài/câu hỏi:

Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + 4\).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn:

a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm), …

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) Quan sát đồ thị và tìm khoảng cách giữa 2 cực trị. Dùng định lí Pytago để tìm khoảng cách đó

Lời giải:

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

• Chiều biến thiên:

\(y’ = {x^2} – 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( – \infty \); 0), (2; \( + \infty \)) thì y’ 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và \({y_{cd}} = 4\)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và \({y_{ct}} = \frac{8}{3}\)

• Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (\frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + 4) = – \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + 4) = + \infty \)

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 4 nên (0; 4) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x = – 1,61\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1,61; 0)

b) Khoảng cách giữa 2 cực trị là \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{(4 – 1,61)}^2} + {2^2}} \approx 3,12\)