Giải chi tiết Câu hỏi Luyện tập 3 trang 25 SGK Toán 12 Cánh diều – Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Hướng dẫn: Đưởng thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị.
Câu hỏi/Đề bài:
Chứng minh rằng đường thẳng \(y = – x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{x + 2}}\).
Hướng dẫn:
Đưởng thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).
Lời giải:
Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{x + 2}} = – x + \frac{3}{{x + 2}}\).
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( { – x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{x + 2}} = 0\).
Vậy đường thẳng \(y = – x\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{x + 2}}\)