Câu hỏi Hoạt động 2 trang 20 Toán 12 Cánh diều: Cho hàm số f(x) = x^2 a) Chứng tỏ F(x) = x^3/3, G(x) = x^3/3 + C là các nguyên hàm của hàm số f(x) = x^2

Câu hỏi/Đề bài:

Cho hàm số \(f(x) = {x^2}\)

a) Chứng tỏ \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3}\), \(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\) là các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2}\)

b) Chứng minh rằng \(F(b) – F(a) = G(b) – G(a)\), tức là hiệu số \(F(b) – F(a)\) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm

Hướng dẫn:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

Lời giải:

a) \(F'(x) = G'(x) = {x^2} = f(x)\) nên \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3}\), \(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\) là các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2}\)

b) \(F(b) – F(a) = \frac{{{b^3}}}{3} – \frac{{{a^3}}}{3}\)

\(G(b) – G(a) = \frac{{{b^3}}}{3} + C – \frac{{{a^3}}}{3} – C = \frac{{{b^3}}}{3} – \frac{{{a^3}}}{3}\)

=> \(F(b) – F(a) = G(b) – G(a)\)