Bài tập 8 trang 64 Toán 12 tập 2 – Cánh diều: Cho hai mặt phẳng (P_1): 4x – y – z + 1 = 0, (P_2): 8x – 2y – 2x + 1 = 0 a) Chứng minh rằng (P_1) //(P_2)

Đề bài/câu hỏi:

Cho hai mặt phẳng \(({P_1}):4x – y – z + 1 = 0\), \(({P_2}):8x – 2y – 2x + 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng \(({P_1})//({P_2})\)

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1}),({P_2})\)

Hướng dẫn:

a) Chứng minh vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng song song với nhau

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1}),({P_2})\) là khoảng cách giữa 1 điểm \( \in ({P_1})\) đến \(({P_2})\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = (4; – 1; – 1);\overrightarrow {{n_2}} = (8; – 2; – 2) = 2\overrightarrow {{n_1}} \) suy ra \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương

Do đó: \(({P_1})//({P_2})\)

b) Chọn điểm \(A(0;1;0) \in ({P_1})\), khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1}),({P_2})\) là khoảng cách từ A đến \(({P_2})\)

\(d(A;({P_2})) = \frac{{\left| { – 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{( – 2)}^2} + {{( – 2)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}\)

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1}),({P_2})\) là \(\frac{{\sqrt 2 }}{{12}}\)