Bài 2.5 trang 44 SBT toán 12 – Kết nối tri thức: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho AE = 1/3AB và CF = 1/3CD. Chứng minh rằng

Đề bài/câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB\) và \(CF = \frac{1}{3}CD\). Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \);

b) \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \);

c) \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

Hướng dẫn:

Ý a và ý b: Sử dụng phép cộng, trừ vectơ, tính chất của phép cộng, phép trừ đó (giao hoán, kết hợp), cộng hai vectơ đối với nhau. Ngoài ra còn cần lựa chọn điểm trung gian trong các điểm đã cho sẵn một cách phù hợp để xuất hiện các vectơ mình muốn, các vectơ đối cũng như xuất hiện công thức trong đề. Cụ thể ta sẽ biến đổi một vế để đưa về vế còn lại, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Ý c: kết hợp ý a và ý b để chứng minh ý c, có thể nhân thêm rồi cộng hai vế với nhau để chứng minh.

Lời giải:

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} = – \overrightarrow {AE} + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF} } \right) = – \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AD} + \left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CF} } \right)\\ = \overrightarrow {AD} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AD} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} .\end{array}\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} = \frac{{ – 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CF} = \frac{{ – 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \frac{{ – 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} .\end{array}\)

c) Từ ý a và ý b suy ra

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {AD} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} } \right)\\ = \overrightarrow {AD} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {BC} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \end{array}\)

Do đó \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \) (đ.p.c.m).