Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức Bài 2.12 trang 46 SBT toán 12 – Kết nối tri thức:...

Bài 2.12 trang 46 SBT toán 12 – Kết nối tri thức: Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b thỏa mãn | \overrightarrow a | = 1, | \overrightarrow b | = 2\

Đầu tiên thực hiện tính tích vô hướng \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), \({\left( {\overrightarrow a } \right)^2}\) và \({\left( {\overrightarrow b } \right)^2}\. Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 2.12 trang 46 sách bài tập toán 12 – Kết nối tri thức – Bài 6. Vecto trong không gian. Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) thỏa mãn (left| {overrightarrow a } right|…

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^ \circ }\).

Tính các tích vô hướng sau:

a) \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\)

b) \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right)\)

c) \(\left( {2\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right)\)

Hướng dẫn:

Đầu tiên thực hiện tính tích vô hướng \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), \({\left( {\overrightarrow a } \right)^2}\) và \({\left( {\overrightarrow b } \right)^2}\) để sử dụng kết quả đó trong các ý.

Ý a: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (hằng đẳng thức bình phương một tổng), thay giá trị tích vô hướng trị bình phương vectơ đã tính ở trên.

Ý b: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương), thay giá trị bình phương vectơ đã tính ở trên.

Ý c: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (nhân hai đa thức), thay giá trị tích vô hướng và trị bình phương vectơ đã tính ở trên.

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos {45^ \circ } = 1 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \); \({\left( {\overrightarrow a } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} = 1\) và \({\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 4\).

a) Ta có \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2 \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = 1 + 2 \cdot \sqrt 2 + 4 = 5 + 2\sqrt 2 \).

b) \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} – {\overrightarrow b ^2} = 1 – 4 = – 3\).

c) Ta có:

\(\left( {2\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} + 6 \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b – \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a – 3 \cdot {\overrightarrow b ^2} = 2 \cdot 1 + 5 \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b – 3 \cdot 4 = 2 + 5 \cdot \sqrt 2 – 12 = – 10 + 5\sqrt 2 \).