Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số. Gợi ý giải Giải bài 1.55 trang 34 sách bài tập toán 12 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 1. Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}). Hàm số đạt cực đại tại (x =…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) khi
A. \(m = – 1\)
B. \(m = – 3\)
C. \(m \in \left\{ { – 3; – 1} \right\}\)
D. \(m \in \emptyset \)
Hướng dẫn:
+ Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số.
+ Yêu cầu bài toán tương đương với đạo hàm cấp 1 tại \(x = 2\) bằng 0, đạo hàm cấp 2 tại \(x = 2\) âm. Ta sẽ tìm m thỏa mãn điều kiện này.
Lời giải:
Ta có \(y’ = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + m} \right) – \left( {{x^2} + mx + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} – 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\).
Suy ra:
\(\begin{array}{l}y” = {\left[ {\frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} – 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}} \right]^\prime } = \frac{{\left( {2x + 2m} \right){{\left( {x + m} \right)}^2} – 2\left( {x + m} \right)\left( {{x^2} + 2mx + {m^2} – 1} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\{\rm{ }} = 2x + 2m – \frac{{2\left( {{x^2} + 2mx + {m^2} – 1} \right)}}{{x + m}}\end{array}\).
Để hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) thì \(y’\left( 2 \right) = 0\) và \(y”\left( 2 \right) < 0\).
Ta có \(y’\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{2^2} + 2m \cdot 2 + {m^2} – 1}}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 3 + 4m + {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = – 1\) hoặc \(m = – 3\).
Với \(m = – 1\) ta có \(y”\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { – 1} \right) – \frac{{2\left( {{2^2} + 2\left( { – 1} \right) \cdot 2 + {{\left( { – 1} \right)}^2} – 1} \right)}}{{2 – 1}} = 2 > 0\), do đó \(x = 2\) là một điểm cực tiểu của hàm số.
Với \(m = – 3\) ta có \(y”\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { – 3} \right) – \frac{{2\left( {{2^2} + 2\left( { – 3} \right) \cdot 2 + {{\left( { – 3} \right)}^2} – 1} \right)}}{{2 – 3}} = – 2 < 0\), do đó \(x = 2\) là một điểm cực đại của hàm số.
Vậy để \(x = 2\) là một điểm cực đại của hàm số thì \(m = – 3\). Ta chọn đáp án B.