Ý a: Tính hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) – C\left( x \right)\). Trả lời Giải bài 1.50 trang 33 sách bài tập toán 12 – Kết nối tri thức – Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn. Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận (Pleft( x right)) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên….
Đề bài/câu hỏi:
a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận \(P\left( x \right)\) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên.
b) Cho \(C\left( x \right) = 16000 + 500x – 1,6{x^2} + 0,004{x^3}\) là hàm chi phí và \(p\left( x \right) = 1700 – 7x\) là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa lợi nhuận.
Hướng dẫn:
Ý a: Tính hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) – C\left( x \right)\), tính đạo hàm và sử dụng ý nghĩa của cực đại.
Ý b: Xác định công thức hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) – C\left( x \right)\) và tìm giá trị lớn nhất.
Lời giải:
a) Ta có hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) – C\left( x \right)\) trong đó \(R\left( x \right)\) là doanh thu và \(C\left( x \right)\) là chi phí.
Khi lợi nhuận đạt cực đại tại \({x_0}\) thì \(P’\left( {{x_0}} \right) = R’\left( {{x_0}} \right) – C’\left( {{x_0}} \right) = 0\) hay \(R’\left( {{x_0}} \right) = C’\left( {{x_0}} \right)\). Nói cách khác doanh thu biên bằng chi phí biên.
b) Ta có hàm lợi nhuận
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) – C\left( x \right) = x\left( {1700 – 7x)} \right) – \left( {16000 + 500x – 1,6{x^2} + 0,004{x^3}} \right)\ = – 16000 + 1200x – 5,4{x^2} – 0,004{x^3}\end{array}\)
Suy ra \(P’\left( x \right) = 1200 – 10,8x – 0,012{x^2}\) khi đó \(P’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1200 – 10,8x – 0,012{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 100\) do \(x > 0\).
Lập bảng biến thiên
Vậy mức sản xuất tối đa là 100 đơn vị hàng hóa.