Viết công thức \(\overline C \left( x \right)\). + Tìm \(x > 0\) để \(\overline C \left( x \right)\) nhỏ nhất. Giải chi tiết Giải bài 1.48 trang 32 sách bài tập toán 12 – Kết nối tri thức – Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn. Một công ty ước tính rằng chi phí (C) (USD) để sản xuất (x) đơn vị sản phẩm có thể…
Đề bài/câu hỏi:
Một công ty ước tính rằng chi phí \(C\) (USD) để sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hóa bằng công thức
\(C = 800 + 0,04x + 0,0002{x^2}\).
Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
+ Viết công thức \(\overline C \left( x \right)\).
+ Tìm \(x > 0\) để \(\overline C \left( x \right)\) nhỏ nhất.
Lời giải:
Ta có \(\overline C \left( x \right) = \frac{{800 + 0,04x + 0,0002{x^2}}}{x} = \frac{{800}}{x} + 0,04 + 0,0002x\), \(x > 0\)
Chi phí trung bình nhỏ nhất khi \(\overline C \left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm \(x\) để \(\overline C \left( x \right)\) nhỏ nhất.
Ta có \(\overline {C’} \left( x \right) = \frac{{ – 800}}{{{x^2}}} + 0,0002 = \frac{{ – 800 + 0,0002{x^2}}}{{{x^2}}}\).
Khi đó \(\overline {C’} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – 800 + 0,0002{x^2}}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow – 800 + 0,0002{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2000\) vì \(x > 0\).
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra \(\overline C \left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 2000\).
Vậy với mức sản xuất \(2000\) thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.