‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} – {a_1}\). Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 3 trang 107 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối chương 3. Chọn đáp án đúng Trong buổi tham quan vườn quốc gia Cát Tiên,…
Đề bài/câu hỏi:
Chọn đáp án đúng
Trong buổi tham quan vườn quốc gia Cát Tiên, nhóm học sinh lớp 12A3 đã ước lượng chiều dài thân của một số cá thể chuồn chuồn và ghi lại trong bảng số liệu sau:
a) Khoảng biến thiên (đơn vị: cm) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
A. 6,5.
B. 5.
C. 4.
D. 7,5.
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
A. \(\left[ {3,5;4,5} \right)\).
B. \(\left[ {4,5;5,5} \right)\).
C. \(\left[ {5,5;6,5} \right)\).
D. \(\left[ {6,5;7,5} \right)\).
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 1,83.
B. 17,41.
C. 15,80.
D. 6,44.
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với với giá trị nào sau đây?
A. 1,29.
B. 5,13.
C. 2,27.
D. 1,14.
Hướng dẫn:
‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} – {a_1}\).
‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
Tứ phân vị thứ \(k\) được xác định như sau: \({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} – C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right)\)
trong đó:
• \(n = {n_1} + {n_2} + … + {n_k}\) là cỡ mẫu;
• \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);
• \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);
• \(C = {n_1} + {n_2} + … + {n_{m – 1}}\).
‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1}\).
‒ Sử dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:
\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} – \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} – \overline x } \right)}^2} + … + {n_k}{{\left( {{c_k} – \overline x } \right)}^2}} \right]\\ & = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + … + {n_k}c_k^2} \right] – {\overline x ^2}\end{array}\)
‒ Sử dụng công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: \(S = \sqrt {{S^2}} \).
Lời giải:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: \(R = 7,5 – 2,5 = 5\) (cm).
Chọn B.
b) Cỡ mẫu: \(n = 8 + 25 + 28 + 31 + 12 = 104\)
Gọi \({x_1};{x_2};…;{x_{104}}\) là mẫu số liệu gốc gồm số cổ động viên đến sân cổ vũ mỗi trận đấu theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{27}} \in \left[ {3,5;4,5} \right)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_1} = 3,5 + \frac{{\frac{{1.104}}{4} – 8}}{{25}}\left( {4,5 – 3,5} \right) = \frac{{211}}{{50}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{79}} \in \left[ {5,5;6,5} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_3} = 5,5 + \frac{{\frac{{3.104}}{4} – \left( {8 + 25 + 28} \right)}}{{31}}\left( {6,5 – 5,5} \right) = \frac{{375}}{{62}}\)
Chọn C.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{375}}{{62}} – \frac{{211}}{{50}} = \frac{{1417}}{{775}} \approx 1,83\) (cm).
Chọn A.
d) Ta có bảng sau:
Cỡ mẫu \(n = 104\)
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\overline x = \frac{{8.3 + 25.4 + 28.5 + 31.6 + 12.7}}{{104}} = \frac{{267}}{{52}}\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:
\({S^2} = \frac{1}{{104}}\left( {{{8.3}^2} + {{25.4}^2} + {{28.5}^2} + {{31.6}^2} + {{12.7}^2}} \right) – {\left( {\frac{{267}}{{52}}} \right)^2} = \frac{{3487}}{{2704}}\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \(S = \sqrt {\frac{{3487}}{{2704}}} \approx 1,29\).
Chọn A.