Bài 1 trang 108 SBT toán 12 – Chân trời sáng tạo: Một cây xăng thống kê lượng xăng bán được mỗi tuần ở bảng sau (đơn vị: m3)

Đề bài/câu hỏi:

Một cây xăng thống kê lượng xăng bán được mỗi tuần ở bảng sau (đơn vị: m³):

a) Xác định phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

b) Xác định khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

c) Biết rằng có 1 tuần cửa hàng bán được 49 m³ xăng. Giá trị đó có phải là giá trị ngoại lệ không?

Hướng dẫn:

‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} – {a_1}\).

‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Tứ phân vị thứ \(k\) được xác định như sau: \({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} – C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right)\)

trong đó:

• \(n = {n_1} + {n_2} + … + {n_k}\) là cỡ mẫu;

• \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);

• \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);

• \(C = {n_1} + {n_2} + … + {n_{m – 1}}\).

‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1}\).

‒ Sử dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} – \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} – \overline x } \right)}^2} + … + {n_k}{{\left( {{c_k} – \overline x } \right)}^2}} \right]\\ & = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + … + {n_k}c_k^2} \right] – {\overline x ^2}\end{array}\)

‒ Sử dụng công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: \(S = \sqrt {{S^2}} \).

‒ Nếu \({Q_3} + 1,5\Delta Q < a\) thì giá trị \(a\) là giá trị ngoại lệ.

Lời giải:

a) Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu \(n = 25 + 38 + 62 + 0 + 1 = 126\)

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline x = \frac{{25.27,5 + 38.32,5 + 62.37,5 + 1.47,5}}{{126}} = \frac{{4295}}{{126}}\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

\({S^2} = \frac{1}{{126}}\left( {{{25.27,5}^2} + {{38.32,5}^2} + {{62.37,5}^2} + {{1.47,5}^2}} \right) – {\left( {\frac{{4295}}{{126}}} \right)^2} \approx 16,53\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \(S \approx \sqrt {16,53} \approx 4,07\).

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: \(R = 50 – 25 = 25\) (m³).

Gọi \({x_1};{x_2};…;{x_{126}}\) là mẫu số liệu gốc gồm lượng xăng bán được mỗi tuần theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{32}} \in \left[ {30;35} \right)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{1.126}}{4} – 25}}{{38}}\left( {35 – 30} \right) = \frac{{2345}}{{76}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{96}} \in \left[ {35;40} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_1} = 35 + \frac{{\frac{{3.126}}{4} – \left( {25 + 38} \right)}}{{62}}\left( {40 – 35} \right) = \frac{{4655}}{{124}}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{4655}}{{124}} – \frac{{2345}}{{76}} = \frac{{7875}}{{1187}} \approx 6,69\) (m³).

c) Ta có \({Q_3} + 1,5\Delta Q \approx \frac{{4655}}{{124}} + 1.5.6,69 \approx 47,58 < 49\).

Vậy giá trị đó là giá trị ngoại lệ.