Giải chi tiết Vận dụng 1 Bài 15. Giới hạn của dãy số (trang 105, 106) – SGK Toán 11 Kết nối tri thức. Gợi ý: \({u_n}\; = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} – a} \right)\; = 0\).
Câu hỏi/Đề bài:
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.
Hướng dẫn:
\({u_n}\; = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} – a} \right)\; = 0\).
Tìm được độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn là cấp số nhân.
Lời giải:
Độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn tạo thành cấp số nhân có số hạng tổng quát:
\({u_n} = 5 \times {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}\).
Ta có: \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).
Suy ra \(5{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).
Vậy \({u_n}\; = 0\).