Dùng định nghĩa hàm số liên tục để xét tính liên tục của hàm số F(r). Trả lời Bài 5.32 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối Chương 5. Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất…
Đề bài/câu hỏi:
Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là
\(F\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{GMr}}{{{R^3}}}\; ,r < R}\\{\frac{{GM}}{{{r^2}}}\; ,\;r \ge R}\end{array}} \right.\)
Trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).
Hướng dẫn:
Dùng định nghĩa hàm số liên tục để xét tính liên tục của hàm số F(r)
Lời giải:
Vì M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn, do đó M, R, G đều khác 0, r là khoảng cách nên r > 0.
Ta có: \(F\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{GMr}}{{{R^3}}}\; ,\;r < R}\\{\frac{{GM}}{{{r^2}}},r \ge R}\end{array}} \right.\)
Tập xác định của hàm số \(F\left( r \right) là \;\left( {0; + \infty } \right)\)
+ Với r < R thì \(F\left( r \right) = \frac{{GMr}}{{{R^3}}}\) hay \(F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^3}}}.r\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \(\left( {0;R} \right)\)
+ Với r > R thì \(F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{r^2}}}\) là hàm phân thức nên nó liên tục trên \(\left( {R; + \infty } \right)\)
+ Tại r = R, ta có \(F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} \frac{{GM}}{{{r^2}}} = \frac{{GM}}{{{r^2}}};\;\;\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ – }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ – }} \frac{{GMr}}{{{R^3}}} = \frac{{GMR}}{{{R^3}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ – }} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{r \to R} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}} = F\left( r \right)\)
Suy ra hàm số \(F\left( r \right)\) liên tục tại r = R
Vậy hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)