Bài 5.1 trang 109 Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức: Tìm các giới hạn sau: a) mathop limlimits_n -> + ∇ n^2 + n + 1/2n^2 + 1

Đề bài/câu hỏi:

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);

b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} – n} \right)\)

Hướng dẫn:

a, Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là bậc cao nhất.

b,Nhân với biểu thức liên hợp

\(\left( {\sqrt A – B} \right).\left( {\sqrt A + B} \right) = A – {B^2}\)

Lời giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{2}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\sqrt {{n^2} + 2n} – n) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} = 1\)