Bài 21 trang 107 Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức: Rút gọn các biểu thức sau: a) A = 1 – 2sin ^2x/1 + sin 2x – 1 – tan x/1 + tan x

Đề bài/câu hỏi:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{1 – 2{{\sin }^2}x}}{{1 + \sin 2x}} – \frac{{1 – \tan x}}{{1 + \tan x}}\)

b) \(B = \frac{{\sin 4x}}{{1 + \cos 4x}} \cdot \frac{{\cos 2x}}{{1 + \cos 2x}} – \cot \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right)\);

c) \(C = 2\left( {{{\cos }^4}x – {{\sin }^4}x} \right)\sin 2x\).

Hướng dẫn:

Sử dụng các công thức lượng giác

Lời giải:

a)

\(A = \frac{{1 – 2{{\sin }^2}x}}{{1 + \sin 2x}} – \frac{{1 – \tan x}}{{1 + \tan x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x – 2{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}} – \frac{{1 – \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\\ = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}} – \frac{{\cos x – \sin x}}{{\cos x + \sin x}} = \frac{{\cos x – \sin x}}{{\sin x + \cos x}} – \frac{{\cos x – \sin x}}{{\cos x + \sin x}} = 0\)

b)

\(B = \frac{{\sin 4x}}{{1 + \cos 4x}} \cdot \frac{{\cos 2x}}{{1 + \cos 2x}} – \cot \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right) = \frac{{2\sin 2x\cos 2x}}{{2{{\cos }^2}2x}}.\frac{{\cos 2x}}{{2{{\cos }^2}x}} – \cot \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)\\ = \frac{{\sin 2x}}{{2{{\cos }^2}x}} – \tan x = \frac{{\sin 2x – 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x}} = 0\)

c)

\(C = 2\left( {{{\cos }^4}x – {{\sin }^4}x} \right)\sin 2x\\ = 2\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\sin 2x\\ = 2\cos 2x.\sin 2x = \sin 4x\)