Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác. Vận dụng kiến thức giải Bài 1.9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 2. Công thức lượng giác. Tính (sin 2a,cos 2a,tan 2a,;)biết: a) (sin a = frac{1}{3}) và (frac{pi }{2} < a < pi );…
Đề bài/câu hỏi:
Tính \(\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\;\)biết:
a) \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);
b) \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).
Hướng dẫn:
– Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tời dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp
– Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Lời giải:
a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\)
Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}a = 1\)
\(\Leftrightarrow {\cos ^2}a = 1 – \frac{1}{9}= \frac{8}{9}\)
\(\Leftrightarrow \cos a =\pm\sqrt { \frac{8}{9}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Vì \(\cos a < 0\) nên \(cos a =-\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Ta có: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\frac{1}{3}.\left( { – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = – \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\)
\(\cos 2a = 1 – 2{\sin ^2}a = 1 – \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\)
\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 – {{\tan }^2}a}} = \frac{{2.\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}}{{1 – {{\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} = – \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\)
b) Vì \(\frac{\pi }{2} < a 0,\cos a < 0\)
\({\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\)
Suy ra \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = \frac{1}{4} – 1 = – \frac{3}{4}\)
Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\;\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} – {\cos }a} \right)^2 + {\cos ^2}a – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} – \cos a + {\cos ^2}a + {\cos ^2}a – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a – \cos a – \frac{3}{4} = 0\)
\( \Rightarrow \cos a = \frac{{1 – \sqrt 7 }}{4}\) (Vì \(\cos a < 0)\)
\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a – 1 = 2.{\left( {\frac{{1 – \sqrt 7 }}{4}} \right)^2} – 1 = – \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ – \frac{3}{4}}}{{ – \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\)