Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định. Phân tích, đưa ra lời giải Bài 1.33 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a) \(y = 2\cos \left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) – 1;\)
b) \(y = \sin x + \cos x\).
Hướng dẫn:
Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định
Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Vì \( – 1 \le \cos \left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow – 2 \le 2{\rm{cos\;}}\left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\;\; \Leftrightarrow – 3 \le 2\cos \left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) – 1 < 1\)
\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos \left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) – 1\) là \(T = \left[ { – 3;1} \right]\).
b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = \sin x + \cos x\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) + \cos \alpha \\ = 2\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{2} – \alpha + \alpha }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{2} – \alpha – \alpha }}{2}} \right)\\ = 2.\cos \frac{\pi }{4}.\cos \frac{{\frac{\pi }{2} – 2\alpha }}{2}\\ = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \alpha } \right)\\ = \sqrt 2 .\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \alpha } \right)\end{array}\)
Vì \( – 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{4} – \alpha } \right) \le 1\) nên \( – \sqrt 2 \le \sqrt 2 .\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \alpha } \right) \le \sqrt 2 \).
Tập giá trị của hàm số \(y = \sin x + \cos x\) là \(T = \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).