Sử dụng công thức hạ bậc để tính \(\cos 4x\) và công thức biến đổi tổng thành tích Dựa vào công thức nghiệm tổng quát. Phân tích, đưa ra lời giải Bài 1.20 trang 39 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản. Giải các phương trình sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin 2x + \cos 4x = 0\); b) \(\cos 3x = – \cos 7x\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức hạ bậc để tính \(\cos 4x\) và công thức biến đổi tổng thành tích
Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:
\(\sin x = m\; \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = \pi – \alpha + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)
\(\cos x = m\;\; \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = – \alpha + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)
Lời giải:
a) \(\sin 2x + 1 – 2{\sin ^2}2x = 0\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x = 1}\\{\sin 2x = – \frac{1}{2}}\end{array}\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x = \sin \frac{\pi }{2}}\\{\sin 2x = \sin – \frac{\pi }{6}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{2x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{2x = \pi + \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\;\;\)
\( \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = – \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }\end{array}} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\cos 3x = – \cos 7x\; \Leftrightarrow \cos 3x + \cos 7x = 0\;\; \Leftrightarrow 2\cos 5x\cos 2x = 0\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 5x = 0}\\{\cos 2x = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 5x = \cos \frac{\pi }{2}\\\cos 2x = \cos \frac{\pi }{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = – \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.;k \in Z\)