Sử dụng công thức cộng: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\. Hướng dẫn trả lời Bài 1.11 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 2. Công thức lượng giác. Chứng minh đẳng thức sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh đẳng thức sau:
\(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a – b} \right) = {\sin ^2}a – {\sin ^2}b = {\cos ^2}b – {\cos ^2}a\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)
\(\sin \left( {a – b} \right) = \sin a\cos b – \cos a\sin b\;\)
Và \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\)
Lời giải:
Ta có: \(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a – b} \right) = \left( {\sin a\cos b + \cos a\sin b} \right).\left( {\sin a\cos b – \cos a\sin b} \right)\)
\( = {\left( {\sin a\cos b} \right)^2} – {\left( {\cos a\sin b} \right)^2} = {\sin ^2}a\left( {1 – {{\sin }^2}b} \right) – \left( {1 – {{\sin }^2}a} \right){\sin ^2}b\)
\({\sin ^2}a – {\sin ^2}b = {\cos ^2}b\left( {1 – {{\cos }^2}a} \right) – {\cos ^2}a\left( {1 – {{\cos }^2}b} \right) = {\cos ^2}b – {\cos ^2}a\;\) (đpcm)