Đáp án Vận dụng Bài 5. Phương trình lượng giác cơ bản (trang 40) – SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Gợi ý: Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm.
Câu hỏi/Đề bài:
Quay lại bài toán khởi động, phương trình chuyển động của bóng đầu trục bàn đạp là \(x = 17cos5\pi t\,\;\left( {cm} \right)\) với t được đo bằng giây. Xác định các thời điểm t mà tại đó độ dài bóng \(|x|\;\) vừa bằng 10. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười
Hướng dẫn:
+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:
Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = – \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Lời giải:
Xét phương trình \(\left| {17cos5\pi t} \right| = 10\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}17cos5\pi t = 10\\17cos5\pi t =-10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}cos5\pi t = \frac{{10}}{{17}}\\cos5\pi t = -\frac{{10}}{{17}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\pi t = \pm 0,9 + k2\pi \\5\pi t = \pm 2,2 + k2\pi \end{array} \right.\left( {k\; \in \;\mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \pm 0,06 + k\frac{2}{5}\\t = \pm 0,14 + k\frac{2}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Độ dài bóng \(|x|\;\)bằng 10 cm tại các thời điểm \(t = \pm 0,06 + k\frac{2}{5}\),\(t = \pm 0,14 + k\frac{2}{5}\),\(k \in \mathbb{Z}\).