Giải chi tiết Vận dụng 4 Bài 1. Điểm – đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (trang 96, 97, 98) – SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Gợi ý: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc giao tuyến của hai mặt.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Trên các cạnh bên của hình chóp lấy lần lượt các điểm \(A’,B’,C’,D’\). Cho biết \(AC\) cắt \(B{\rm{D}}\) tại \(O\), \(A’C’\) cắt \(B'{\rm{D’}}\) tại \(O’\), \(AB\) cắt \(DC\) tại \(E\) và \(A’B’\) cắt \(D’C’\) tại \(E’\) (Hình 39). Chứng minh rằng:
a) \(S,O’,O\) thẳng hàng;
b) \(S,E’,E\) thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Lời giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}O’ \in A’C’ \subset \left( {SAC} \right)\\O’ \in B’D’ \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O’ \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array}\)
Mà \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\)
Do đó, \(S,O,O’\) cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SB{\rm{D}}} \right)\).
Vậy \(S,O’,O\) thẳng hàng.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\E \in CD \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}E’ \in A’B’ \subset \left( {SAB} \right)\\E’ \in C’D’ \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E’ \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array}\)
Mà \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\)
Do đó, \(S,E,E’\) cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SC{\rm{D}}} \right)\).
Vậy \(S,E,E’\) thẳng hàng.